बार के साथ ग्राफ

1736 में, यूलर (1707-1782) ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया, जिसने ग्राफ सिद्धांत को जन्म दिया। क्योंकि यह माना जाता है कि ग्राफ सिद्धांत 1736 में कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या के यूलर के समाधान के प्रकाशन के साथ शुरू हुआ था, यूलर को “ग्राफ थ्योरी के पिता” के रूप में जाना जाने लगा।

बार के साथ ग्राफ

वीडियो: Difference between Bar graphs and Histograms // EASY WAY // BAR GRAPHS// HISTOGRAM

बार ग्राफ बनाम हिस्टोग्राम

आंकड़ों में, डेटा का सारांश और प्रस्तुति महत्वपूर्ण है। यह या तो वर्णनात्मक उपायों का उपयोग करके या पाई ग्राफ़, बार ग्राफ़, और कई अन्य ग्राफ़िक्स प्रतिनिधित्व विधियों का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से किया जा सकता है।

एक बार ग्राफ क्या है?

बार ग्राफ आँकड़ों में मुख्य चित्रमय प्रतिनिधित्व विधियों में से एक है। इसका उपयोग एक क्षैतिज अक्ष पर गुणात्मक डेटा के अलग-अलग मूल्यों और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर उन मूल्यों के सापेक्ष आवृत्तियों (या आवृत्तियों या पर्केंट्स) को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। रिश्तेदार आवृत्ति के समानुपातिक / लंबाई के साथ एक बार प्रत्येक अलग मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, और सलाखों को इस तरह से तैनात किया जाता है कि वे एक दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं। उपरोक्त कॉन्फ़िगरेशन वाला एक बार ग्राफ सबसे आम है और इसे ऊर्ध्वाधर बार ग्राफ या कॉलम ग्राफ के रूप में जाना जाता है। लेकिन कुल्हाड़ियों को इंटरचेंज करना भी संभव है; उस स्थिति में पट्टियाँ क्षैतिज होती हैं।

बार ग्राफ का पहली बार प्रयोग 1786 में विलियम प्लेफेयर की पुस्तक "द कमर्शियल एंड पॉलिटिकल एटलस" में किया गया था। तब से बार ग्राफ स्पष्ट डेटा का प्रतिनिधित्व करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक बन गया है। बार ग्राफ़ का उपयोग अधिक जटिल श्रेणीबद्ध डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, जैसे समय विकसित करने वाले चर (चुनाव प्रतिक्रिया), समूहीकृत डेटा, और बहुत कुछ।

हिस्टोग्राम क्या है?

हिस्टोग्राम डेटा का एक और महत्वपूर्ण ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है, और इसे बार बार के साथ ग्राफ ग्राफ से एक विकास के रूप में माना जा सकता है। एक हिस्टोग्राम में, मात्रात्मक डेटा की कक्षाएं क्षैतिज अक्ष पर प्रदर्शित की जाती हैं, और कक्षाओं की आवृत्ति (या रिश्तेदार आवृत्ति या पेरेन्ट्स) वाई अक्ष पर प्रदर्शित की जाती हैं। एक ऊर्ध्वाधर पट्टी आमतौर पर वर्ग की आवृत्ति (या सापेक्ष आवृत्ति या पेरेन्ट्स) का प्रतिनिधित्व करती है, जिसकी ऊंचाई इसकी परिमाण के बराबर है। साधारण बार ग्राफ़ के विपरीत, बार एक दूसरे को छूने के लिए तैनात होते हैं।

X- अक्ष-अक्ष में चर या तो एकल मान समूहीकृत या समूहबद्ध सीमा हो सकती है। एकल-मूल्य समूहन के लिए, बार को लेबल करने के लिए प्रेक्षणों के अलग-अलग मूल्यों का उपयोग किया जाता है, जिसके प्रत्येक मूल्य को उसके बार के नीचे केंद्रित किया जाता है। सीमा समूहन या कट बिंदु समूहन के लिए, निम्न श्रेणी की सीमाएँ (या, समतुल्य रूप से, निम्न श्रेणी के कट बिंदु) का उपयोग सलाखों को लेबल करने के लिए किया जाता है। बार के नीचे केंद्रित क्लास के निशान या क्लास मिडपॉइंट का भी उपयोग किया जा सकता है।

प्रमुख अंतरों में से एक एक्स-अक्ष-अक्ष में उपयोग किए जाने वाले चर में निहित है। हिस्टोग्राम में, चर एक मात्रात्मक चर है और निरंतर या असतत हो सकता है। और इसका उपयोग डेटासेट के बारे में घनत्व की जानकारी का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। इस स्थिति में, x- अक्ष पर उपयोग किए गए अंतराल एक से दूसरे में भिन्न हो सकते हैं, और y अक्ष पर, आवृत्ति घनत्व चिह्नित है। यदि X- अक्ष का अंतराल 1 है, तो हिस्टोग्राम सापेक्ष आवृत्ति भूखंड के बराबर है।

बार ग्राफ और हिस्टोग्राम में क्या अंतर है?

• पहला और सबसे महत्वपूर्ण, हिस्टोग्राम बार ग्राफ से एक विकास है, लेकिन यह बार ग्राफ के समान नहीं है। हिस्टोग्राम एक प्रकार का बार ग्राफ़ हैं, लेकिन बार ग्राफ़ निश्चित रूप से हिस्टोग्राम नहीं हैं।

• बार ग्राफ्स का उपयोग श्रेणीबद्ध या गुणात्मक डेटा को प्लॉट करने के लिए किया जाता है जबकि हिस्टोग्राम्स का उपयोग मात्रात्मक डेटा को डिब्बे या अंतराल में रखे गए डेटा की सीमा के साथ करने के लिए किया जाता है।

• बार ग्राफ का उपयोग चर की तुलना करने के लिए किया जाता है जबकि हिस्टोग्राम का उपयोग चर के वितरण को दिखाने के लिए किया जाता है

• बार ग्राफ में दो पट्टियों के बीच रिक्त स्थान होते हैं जबकि हिस्टोग्राम के सलाखों के बीच कोई स्थान नहीं होता है। (इसका कारण यह है कि बार ग्राफ में x- अक्ष असतत श्रेणीगत मान हैं, जबकि हिस्टोग्राम में, यह या तो असतत है या निरंतर मात्रात्मक है)।

• हिस्टोग्राम का उपयोग अंतराल में एक चर के घनत्व को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है; इस स्थिति में बार का क्षेत्र चर की आवृत्ति को दर्शाता है।

कोरोना का बढ़ रहा ग्राफ, स्कूलों में बरती जा रही लापरवाही

देहरादून ब्यूरो
Updated Thu, 02 Dec 2021 09:33 PM IST

प्रदेश में जहां कोरोना संक्रमितों का ग्राफ एक बार फिर बढ़ने लगा है। वहीं स्कूलों में मास्क और शारीरिक दूरी को लेकर लापरवाही बरती जा रही है। स्कूलों में अधिकांश छात्र बिना मास्क लगाए दिख रहे हैं। शिक्षक भी मास्क को लेकर गंभीर नहीं हैं। जिससे एक बार फिर स्थिति विकट होने की आशंका बढ़ रही है। शिक्षा विभाग भी इस लापरवाही पर कोई ध्यान नहीं दे रहा है।
कोरोना के नए वैरिएंट को लेकर स्वास्थ्य विभाग और प्रशासन सतर्क है। स्वास्थ्य विभाग ने क्वारंटीन सेंटरों को चिन्हित करने के साथ ही जनपद मे सैंपलिंग बढ़ा दी है। इसके अलावा जनपद के अस्पतालों में फ्लू ओपीडी अलग से की जा रही है। जिससे कोरोना संक्रमितों की पहचान में आसानी हो। जनपद की सीमाओं पर भी चौकसी बरती जा रही है। लेकिन शिक्षा विभाग लापरवाह बना हुआ है। अधिकांश स्कूलों में बच्चे बिना मास्क के दिखाई दे रहे हैं। कक्षाओं में शारीरिक दूरी का भी ध्यान नहीं रखा जा रहा है।
इस संबंध में मुख्य शिक्षाधिकारी विनोद प्रसाद सेमल्टी ने बताया कि निर्देश जारी किए गए हैं। सभी लोगों को सजग रहना चाहिए। एक बार फिर सभी स्कूल प्रबंधनों को एहतियात बरतने के निर्देश दिए जाएंगे।

प्रदेश में जहां कोरोना संक्रमितों का ग्राफ एक बार फिर बढ़ने लगा है। वहीं स्कूलों में मास्क और शारीरिक दूरी को लेकर लापरवाही बरती जा रही है। स्कूलों में अधिकांश छात्र बिना मास्क लगाए दिख रहे हैं। शिक्षक भी मास्क को लेकर गंभीर नहीं हैं। जिससे एक बार फिर स्थिति विकट होने की आशंका बार के साथ ग्राफ बढ़ रही है। शिक्षा विभाग भी इस लापरवाही पर कोई ध्यान नहीं दे रहा है।

कोरोना के नए वैरिएंट को लेकर स्वास्थ्य विभाग और प्रशासन सतर्क है। स्वास्थ्य विभाग ने क्वारंटीन सेंटरों को चिन्हित करने के साथ ही जनपद मे सैंपलिंग बढ़ा दी है। इसके अलावा जनपद के अस्पतालों में फ्लू ओपीडी अलग से की जा रही है। जिससे कोरोना संक्रमितों की पहचान में आसानी हो। जनपद की सीमाओं पर भी चौकसी बरती जा रही है। लेकिन शिक्षा विभाग लापरवाह बना हुआ है। अधिकांश स्कूलों में बच्चे बिना मास्क के दिखाई दे रहे हैं। कक्षाओं में शारीरिक दूरी का भी ध्यान नहीं रखा जा रहा है।

इस संबंध में मुख्य शिक्षाधिकारी विनोद प्रसाद सेमल्टी ने बताया कि निर्देश जारी किए गए हैं। सभी लोगों को सजग रहना चाहिए। एक बार फिर सभी स्कूल प्रबंधनों को एहतियात बरतने के निर्देश दिए जाएंगे।

सापेक्ष आवृत्ति ग्राफ निर्माता

निर्देश: नीचे दिए गए फॉर्म में दिए गए नमूना डेटा से जुड़े सापेक्ष आवृत्तियों के साथ एक बार चार्ट बनाने के लिए इस सापेक्ष आवृत्ति ग्राफ निर्माता का उपयोग करें।इस नमूने को अल्पविराम या स्थान अलग करने की आवश्यकता है:

सापेक्ष आवृत्ति ग्राफ निर्माता

एक सापेक्ष आवृत्ति ग्राफ कुल नमूना डेटा के संबंध में, सापेक्ष आवृत्तियों को नमूना में मानों से मेल खाता है।

यह आपको अनुपात या प्रतिशत को देखने की अनुमति देता है कि नमूना में सभी तत्वों के बीच एक मूल्य दोहराया जाता है।से भिन्न आवेति चार्ट , यह एक पूर्ण के बजाय मानों की आवृत्तियों के एक सापेक्ष परिप्रेक्ष्य देता है।

इसके बजाय कक्षाओं के साथ काम करने पर विचार करते हुए, आपको इसके बजाय विचार करना चाहिए हिस्ट्रोग्राम सम्राटा , या यहां तक कि यह भी आवेत्ती बहुभुज नगरता , जो अंतराल कक्षाओं के साथ काम करेगा जो वितरण के एक बेहतर परिप्रेक्ष्य को नमूना डेटा खींचा गया था।

ग्राफ सिद्धांत (Graph Theory) का इतिहास :

History of Graph Theory in Hindi – ग्राफ सिद्धांत के इतिहास का पता 1735 में लगाया जा सकता है, जब स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया था। ग्राफ का अध्ययन, जिसे ग्राफ सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, गणित, इंजीनियरिंग, भौतिक, सामाजिक, जैविक और कंप्यूटर विज्ञान, भाषा विज्ञान और कई अन्य विषयों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक ग्राफ का उपयोग असतत वस्तुओं और उनके बीच संबंध से जुड़ी लगभग किसी भी भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

एक ग्राफ बिंदुओं का एक संग्रह है जिसे नोड्स या वर्टिसिस (nodes or vertices) के रूप में जाना जाता है जो किनारों (edges) के रूप में ज्ञात लाइनों के नेटवर्क द्वारा एक साथ जुड़े होते हैं। क्योंकि ग्राफ सिद्धांत को अनुप्रयुक्त गणित (applied mathematics) की एक शाखा माना जाता है, इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि ग्राफ सिद्धांत को स्वतंत्र रूप से कई बार खोजा गया है।

ग्राफ सिद्धांत का आविष्कार किसने किया :

1736 में, यूलर (1707-1782) ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया, जिसने ग्राफ सिद्धांत को जन्म दिया। क्योंकि यह माना जाता है कि ग्राफ सिद्धांत 1736 में कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या के यूलर के समाधान के प्रकाशन के साथ शुरू हुआ था, यूलर को “ग्राफ थ्योरी के पिता” के रूप में जाना जाने लगा।

अगले 100 वर्षों तक इस क्षेत्र में और कुछ नहीं किया गया। बार के साथ ग्राफ

• फिर, 1847 में, जी आर किरचॉफ (1824-1887) ने अपने अनुप्रयोगों के लिए इलेक्ट्रिक नेटवर्क में tree theory विकसित किया। इलेक्ट्रिक नेटवर्क में किरचॉफ के शोध ने ग्राफ में trees से संबंधित मूलभूत अवधारणाओं और प्रमेयों का विकास किया।

• 10 साल बाद, ए. केली (1821-1895) ने उन trees के बारे में सोचा जो कार्बनिक रासायनिक आइसोमर्स की गिनती से उत्पन्न हुए और संतृप्त हाइड्रोकार्बन CnH2n+2 के आइसोमर्स की गणना करने की कोशिश करते हुए trees की खोज की।

• ग्राफ सिद्धांत में दो अन्य मील के पत्थर किरचॉफ और केली के समय के आसपास स्थापित किए गए थे।
  1. जिसमें से एक, चार रंगों का अनुमान (four-color conjecture) है,
  2. और, दूसरा हैमिल्टन द्वारा आविष्कार की गई एक पहेली है।

• चार रंगों का अनुमान (Four-color conjecture) :

Four-color conjecture के अनुसार, किसी भी एटलस (किसी समतल पर एक नक्शा) को रंगने के लिए चार रंग पर्याप्त होते हैं ताकि समान सीमाओं (common borders) वाले देशों में अलग-अलग रंग हों।

पहली बार 1840 में, ए.एफ. मोबियस (1790-1868) ने अपने व्याख्यान में चार-रंग की समस्या (four-color problem) को प्रस्तुत किया था।

करीब 10 साल बाद, ए. डी मॉर्गन (1806-1871) ने लंदन में अपने साथी गणितज्ञों के साथ इस समस्या पर चर्चा की। डी मॉर्गन का पत्र चार-रंग की समस्या का पहला प्रमाणित संदर्भ है।

1879 में, केली ने इस समस्या को “first volume of the Proceedings of the Royal Geographic Society” में प्रकाशित किया, और इसे प्रकाशित करने के बाद यह समस्या अच्छी तरह से ज्ञात हो गई। इसके बाद, प्रसिद्ध चार-रंग अनुमान प्रमुखता में आए और तब से लोकप्रिय बना हुआ है।

आज तक अब भी, चार-रंग का अनुमान (four-color problem) ग्राफ सिद्धांत में अब तक की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या है, जिसने क्षेत्र में भारी मात्रा में शोध को प्रेरित किया है।

• हैमिल्टन द्वारा आविष्कार की गई पहेली (Puzzle invented by Hamilton) :

1859 में, सर डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन (1805-1865) ने ग्राफ के लिए एक पहेली (puzzle) दृष्टिकोण का आविष्कार किया और इसे डबलिन में एक गेम निर्माता को 25 गिनी में बेच दिया।

पहेली (puzzle) एक लकड़ी के नियमित डोडेकाहेड्रॉन (एक पॉलीहेड्रॉन, जिसमें 12 faces हैं जिनमें सभी face regular pentagons हैं, और 20 corners और 30 edges हैं। प्रत्येक corner पर 3 edges मिलते हैं ) से बना था। Corners पर 20 महत्वपूर्ण शहरों के नाम अंकित थे। पहेली (puzzle) का लक्ष्य डोडेकाहेड्रॉन के किनारों (edges) के साथ एक मार्ग खोजना था, जो 20 शहरों में से प्रत्येक से ठीक एक बार गुजरता था।

यद्यपि इस विशेष समस्या का समाधान प्राप्त करना सरल है, कोई भी अभी तक किसी भी ग्राफ में इस तरह के पथ (हैमिल्टनियन सर्किट के रूप में जाना जाता है) के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति नहीं खोज सका है।

इस उपयोगी अवधि के बाद, आधी सदी सापेक्ष निष्क्रियता की थी।

• फिर, 1920 के दशक के दौरान , ग्राफ में रुचि का पुनरुत्थान शुरू हुआ। डी. कोनिग इस समयावधि के अग्रदूतों में से एक थे। उन्होंने अन्य गणितज्ञों के साथ-साथ अपने स्वयं के कार्यों को व्यवस्थित किया और 1936 में इस विषय पर पहली पुस्तक प्रकाशित की।

• पिछले 30 वर्षों में ग्राफ सिद्धांत में गहन गतिविधि देखी गई है – शुद्ध और अनुप्रयुक्त (pure and applied) दोनों। इस क्षेत्र में काफी मात्रा में शोध कार्य किया गया है और किया जा रहा है। पिछले एक दशक के दौरान हजारों पत्र प्रकाशित हुए हैं और एक दर्जन से अधिक पुस्तकें लिखी गई हैं।

• इक्कीसवीं सदी में, पहले से ही ग्राफ सिद्धांत की बहुत सारी पुनः खोज हो चुकी हैं।

(Source – Various books from the college library)

Tags: graph theory discrete mathematics in hindi, graph theory history in hindi

IBPS Clerk Prelims 2022 Quant क्विज : 19th July – Bar Graph DI

Directions (1-5):- दिया गया बार ग्राफ प्रत्येक कॉलेज (P, Q, R और S) के उन छात्रों की कुल संख्या का प्रतिशत वितरण दर्शाता है, जिन्होंने 3 अलग-अलग स्ट्रीम में प्रवेश लिया। P, Q, R और S में कुल छात्र क्रमशः 700, 800, 400 और 900 हैं।

Q1. सभी 4 कॉलेजों में एमबीबीएस का विकल्प चुनने वाले छात्रों की औसत संख्या कितनी है?
(a) 256
(b) 233
(c) 284
(d) 224
(e) 296

Q2. कॉलेज Q में एक साथ इंजीनियरिंग और एमबीबीएस दोनों स्ट्रीम को चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या का कॉलेज R में एक साथ समान स्ट्रीम से अनुपात कितना है?
(a) 38:65
(b) 67:35
(c) 35:67
(d) 65:38
(e) 29:37

Q3. कॉलेज P में एमबीबीएस का विकल्प चुनने वाले छात्रों की संख्या कॉलेज Q में इंजीनियरिंग का विकल्प चुनने वाले छात्रों की संख्या का कितना प्रतिशत है?
(a) 87.5%
(b) 50%
(c) 75%
(d) 100%
(e) 62.5%

Q4.कॉलेज R में इंजीनियरिंग का विकल्प चुनने वाले छात्रों की संख्या का कॉलेज P में समान स्ट्रीम का विकल्प चुनने वालों से अनुपात कितना है?
(a) 14:11
(b) 17:13
(c) 11:14
(d) 13:17
(e) इनमें से कोई नहीं

Q5. कौन सा संयोजन अधिकतम छात्रों वाले कॉलेजों का प्रतिनिधित्व करता है, जिन्होंने क्रमशः फार्मेसी का विकल्प चुना है और वे जिन्होंने इंजीनियरिंग का विकल्प चुना है?

Directions (6-10): नीचे दिए गए बार चार्ट का अध्ययन कीजिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

बार चार्ट 6 विभिन्न पाइपों (A, B, C, D, E & F) की क्षमता (लीटर/मिनट में) दिखाता है।

Q6. पाइप – D और E मिलकर एक टैंक को 36 मिनट में भर सकते हैं। पाइप – C अकेले उसी टैंक को भरना शुरू करता है और T मिनट के बाद, पाइप – C को, पाइप – D और E से बदल दिया जाता है। यदि पाइप – D और E ने मिलकर शेष टैंक को 24 मिनट में भर दिया, तो T ज्ञात कीजिए।

Q7. पाइप – A, C और F एक टैंक को इस प्रकार से भरना शुरू करते हैं कि पाइप – A ने टैंक को पहले और दूसरे मिनट में भरा, फिर पाइप – F ने टैंक को तीसरे मिनट में भरा और फिर पाइप – C ने टैंक को चौथे और पांचवें मिनट में भरा। यदि टैंक मिनट में पूरी तरह से भर जाता है, तो टैंक की कुल क्षमता ज्ञात कीजिए।

(e) उपरोक्त में से कोई नहीं

Q8. यदि पाइप – D अकेले एक टैंक को 84 मिनट में भर सकता है और पाइप – G, पाइप – B की तुलना में 40% अधिक कुशल है, तो पाइप – F और G द्वारा एक साथ समान टैंक को भरने में लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
(a) 80 मिनट
(b) 72 मिनट
(c) 33⅓ मिनट
(d) 60 मिनट
(e) 66⅔ मिनट

Q9. यदि एक टैंक की कुल क्षमता 3200 लीटर है और पाइप – B, D और E टैंक से जुड़े हैं। पाइप – B और E प्रवेशिका पाइप हैं और पाइप – D एक निकासी पाइप है। यदि टैंक में तीनों पाइपों को एक साथ खोल दिया जाए, तो टैंक कितने समय में पूरी तरह भर जाएगा?

Q10. यदि पाइप – A, C और P मिलकर टैंक को 24 मिनट में भर सकते हैं और पाइप – P की दक्षता, पाइप – D की दक्षता से 60% अधिक है, तो टैंक की कुल क्षमता ज्ञात कीजिए?

Directions (11-15):- दिया गया बार ग्राफ 5 अलग-अलग वर्षों में 3 अलग-अलग विद्यालयों की एक विशेष कक्षा में छात्रों की संख्या का विवरण दिखाता है।

Q11.सभी वर्षों में विद्यालय A के छात्रों की औसत संख्या और सभी वर्षों में विद्यालय B के छात्रों की औसत संख्या के मध्य कितना अंतर है?
(a) 18
(b) 10
(c) 12
(d) 14
(e) 16

Q12. 2011 और 2012 में मिलाकर विद्यालय A के छात्रों की कुल संख्या का 2013 और 2014 में मिलाकर विद्यालय C के छात्रों की कुल बार के साथ ग्राफ संख्या से संबंधित अनुपात ज्ञात कीजिए?
(a) 31:33
(b) 47:55
(c) 55:47
(d) 33:31
(e) 31:37

Q13. यदि 2016 में, विद्यालय A, विद्यालय B और विद्यालय C में छात्रों की कुल संख्या 2015 की तुलना में क्रमशः 10%,20% और 15% बढ़ जाती है, तो 2016 में सभी विद्यालयों में छात्रों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। (a) 850
(b) 870
(c) 780
(d) 830
(e) 800

Q14. 2013 में सभी विद्यालयों के कुल छात्र, 2011 और 2015 में मिलाकर विद्यालय B के कुल छात्रों से लगभग कितने प्रतिशत अधिक/कम हैं?
(a) 52%
(b) 59%
(c) 56%
(d) 63%
(e) 48%

Q15. 2011 और 2013 में मिलाकर सभी विद्यालयों से कुल छात्रों की संख्या और 2014 और 2015 में मिलाकर सभी विद्यालयों से छात्रों की कुल संख्या के मध्य अंतर ज्ञात कीजिए?
(a) 140
(b) 60
(c) 120
(d) 80
(e) 100